به دنیای فرکتال خوش آمدید ؟!
قسمت اول : هندسه فرکتال

سید محسن قندی


در این مقاله سعی شده است بیان مختصری از بحث گسترده فركتال در سه قسمت آورده شود

اگر بخواهیم از دید كلی به بحث فركتال نگاه كنیم آن را می توان به 3 دسته تقسیم بندی كرد :

1-هندسه فركتال : در این قسمت از دید ریاضی به فركتال نگاه می شود كه بیشتر مورد توجه ریاضی دان ها قرار گرفته اما پایه های قسمت های بعدی نیز می باشد ، و تا با عناصر اصلی فركتال و چگونگی ایجاد این فرم آشنا نشویم نمی توان فرم های مختلف و حجم های مختلف را شناسایی كرد.

2-فرم فركتال : قسمت دوم این مقاله است ، با توجه به اینكه ،محصول هندسه فركتال فرمی است كه دقیقاً آن مشخصه های هندسی مربوطه را دارد . در این بخش فرم هایی همچون فرم های درخت ، فرم های مندلبرت ، فرمهای موجود در طبیعت ، ایجاد فرم های رندوم (Random fractal) ، خود متشابهی (self similarity) ، فركتال در نقاشی ( آثار نقاشانی چون جكسون پالاك ) و مورد بررسی قرار خواهد گرفت .

3-حجم فركتال ( فركتال در معماری ) : نتیجه فرم های مختلف می تواند به یك اثر معماری منتج شود لذا در این بخش حجم های فركتالی و آثار معماری مطرح می شود .

-------

اشكالفركتالیچنانبازندگیروزمرهماگرهخوردهكه بسیار جالب است. باكمیدقتبهاطرافخود،میتوانبسیاریازایناشكالرا یافت. ازگلفرشزیرپایشماوگلكلمدرونمغازههایمیوهفروشیگرفتهتاشكلكوهها،ابرها،دانهبرفوباران،شكلریشه،تنهوبرگدرختانوبالاخرهشكلسرخسها،سیاهرگوحتی می توان از این هم فراتر رفت : سطح كره ماه ، منظومه شمسی و ستارگان .

البته در بخش فرم های فركتال این موضوع  بیشتر مشهود است به طوری كه بسیاری از فرمهای خلقت دارای ساختاری فركتال هستند .

اینروزهاازفراکتالهابهعنوانیکیازابزارهایمهمدرگرافیکرایانهاینیزناممیبرند،اماهنگامپیدایشاینمفهومجدیدبیشتریننقشرادرفشردهسازیفایلهایتصویریبازیمی کنند.

 

 

هندسه فرکتالی یاهندسه فرکتالهاپدیدهای ست که چندی پیش پا به دنیای ریاضیات گذاشت.

واژه فرکتال درسال 1976 توسط ریاضیدان لهستانی به نام بنوئیت مندلبرات وارد دنیای ریاضیات شد.

 

او در سال 1987 پرفسوری خود را در رشته ریاضیات گرفت.

مندلبراتوقتیکهبررویتحقیقیپیرامونطولسواحلانگلیسمطالعهمینمودبهایننتیجهرسیدکههرگاهبامقیاسبزرگاینطولاندازهگرفتهشودبیشتراززمانیاستکهمقیاسکوچکترباشد.

از لحاظ واژه مندلبراتانتخاب  اصطلاحفرکتال (fractal) راازواژهلاتینfractus یاfractum (بهمعنیشکسته ) گرفتتابرماهیتقطعهقطعهشوندهكه یكی از مشخصه های اصلی این فرم است ،تاکیدداشته باشد .

فرهنگستانزبانهمواژهبرخالراتصویبکرده و همچنینبرایواژهفرکتالیواژهبرخالیراتصویبکردهاست.

واژه فركتال به معنای سنگی است كه به شكل نامنظم شكسته شده باشد.

اما در هندسه :

فرکتالاز دید هندسی بهشیئیگویندکهدارایسهویژگیزیرباشد:

1-اولاینکهدارایخاصیتخودمتشابهیباشدیابهتعبیردیگرself-similar باشد.

2-درمقیاسخردبسیارپیچیدهباشد.

3-بعد آن یك عددصحیحنباشد ( مثلاً‌ 1.5 ).

 

برایدرکبهترنسبتبه مشخصات بالا در فرم هندسی   ، بدنیستنمونه ای كه شاید تا كنون با آن برخورد كرده باشید مطرح شود :

 

 

تصویر بالا ( یك كبوتر )  یك فرم هندسی است كه  دقیقاً با تعاریفی كه در تعریف فركتال بیان شد، منطبق است یعنی هم دارای خاصیت خود متشابهی و پیچیدگی در مقیاس خرد و نیز عدم داشتن بعد صحیح . تصویر بالا دارای بعدی بین عدد 2 و 3 است.

حال به بررسی هر یك در زیر پرداخته شده :

خاصیتخودمتشابهیفرکتالها

شیئیرادارایخاصیتخودمتشابهیمیگوییم: هرگاهقسمتهاییازآنبایكمقیاسمعلوم،یكنمونهازكلشیئیباشد.

سادهترینمثالبراییكشیئخودمتشابهدرطبیعتگلكلماستكههرقطعهیكوچكگلكلممتشابهقطعهبزرگیازآناست .

همینطوردرختكاجیكشیئخودمتشابهاست،چراكههریكازشاخههایآنخیلیشبیهیكدرختكاجاستولیدرمقیاسبسیاركوچكتر .همچنیندرموردبرگسرخسنیزچنینخاصیتیوجوددارد.

رشتهكوهها،پشتههایابر،مسیررودخانههاوخطوطساحلینیزهمگیمثالهاییازیكساختمانخودمتشابههستند.

در تصویرسمتراستبزرگشدهدایره تصویرسمتچپدیده می شود

 

نمونه ای از خودمتشابهی در شكل زیر نیز دیده می شود :

 

پیچیدگیدرمقیاسخرد

در این بخش نرم افزار Fractal Explorer ارائه می شود كه می توانید آن را دانلود كنید. در این نرم افزار مدل های آماده از فرم های مندلبورت نیز وجود دارد كه دارای سیستم پیچیده ای در مقیاس خرد است .

توضیح بیشتر این نرم افزار  در بخش دوم ( فرمهای فركتال) ارائه خواهد شد. در اینجا فقط اگر شما حالت های پیش فرض آن را امتحان كنید این پیچیدگی مشخص است.

برای دریافت نرم افزار Fractal Explorer اینجا کلیک کنید

 

 

عدم بعدصحیح

این بخش در فركتال ها بسیار مهم است به طوری كه خیلی از فرمها با این مشخصه ، از فرم هایی با هندسه اقلیدسی جدا می شوند.

 

-محاسبهبعدفرکتالها:

 

اگر بگوییم بعدخط،برابریکباشد

و نیز بعدصفحه،برابردوباشد.

همچنن بعدفضابا عدد سه معرفی شود

امافرکتالهابرخلافهمهیاینهابعدصحیحندارند. بعدفرکتالهایکعددکسریمیباشد

 

وقتیکهگفتهمیشودبعدیکفرکتال 1.2 میباشداینبدینمعنیاستازخطپیچیدهتروازصفحهسادتراست.

محاسبه این بعد از یك سری فرمول های لگاریتمی بدست می آید كه بررسی آن از حوصله این بحث خارج است. در اشكال زیر تنها به عدد بدست آمده اشاره می شود .

 

شکلروبهرویکیازنمونههایمشهورفرکتالهااست. کهبهخموانکخشهرتدارد.

بعد بدست آمده برابر1.261859 می باشد

خموانکخبابعد1.2

مجموعهکانتوربابعد0.630929

 

 

فرکتالیبابعد1.58496

در پایین از كار های لوكربوزیه كه محاسبه ابعاد حالت های زیر(از چپ به راست ) آمده است . همانطور كه دیده می شود شكل سمت چپ دارای بعد بیشتری نسبت به شكل سمت راست است .

 

D(13-26)=(log300-log104)/(log26-log13)=1.528; 
D(26-52)=(log726-log300)/(log52-log26)=1.275;
D(52-104)=(log1604-log726)/(log104-log52)=1.144

 

اما در عین پیچیدگی كه فرم های فركتال دارند نباید فراموش كرد كه فركتال یك هندسه است.و از انجام محاسبات هندسی بدست می آید . این بخش را بانرم افزاری در ذیل این مورد به پایان می برم .

برای دریافت نرم افزار IFSRandom.exe اینجا کلیک کنید

در این نرم افزار كه بسیار ساده و دارای یك محاسبه منطقی است پارامتر های r,s,teta,e,f در یك ماتریسی قرار گرفته اند كه با تغییر هریك فرم خاصی را ایجاد می كند .

شرح این پارامتر ها از حوصلۀ بحث خارج است و تنها به نتیجه كار می پردازیم .

برای مثال پس از دانلود نرم افزار دكمه Run را فشار دهید سپس تغییراتی كه من در ردیف T4انجام داده ام  در هر مرحله انجام دهید.

 

به نتیجه جالبی می رسید و اینكه بسیاری از فرمهارا می توان با تغییر این پارامتر ها رسم نمود.

پایان بخش اول

قسمت اول : فركتال از منظر  هندسی

به اشتراک بگذارید

Submit to DeliciousSubmit to DiggSubmit to FacebookSubmit to Google PlusSubmit to StumbleuponSubmit to TechnoratiSubmit to TwitterSubmit to LinkedIn

نوشتن دیدگاه


تصویر امنیتی
تصویر امنیتی جدید

دیدگاه‌ها  

0 # گلی جوون 1392-01-05 17:36
نقل قول:
:-) :-) :-) :-)
:P :P :P :-*
پاسخ دادن | پاسخ به نقل قول | نقل قول کردن
0 # salamfar 1392-11-21 09:13
سلام
مضوع بسیار جالبی است . اما تمام حروف بهم چسبیده اند و قابل خواندن نیست. لطفا رسیدگی کنید تا متن قابل استفاده باشد.
ممنون
پاسخ دادن | پاسخ به نقل قول | نقل قول کردن
0 # baby 1393-02-06 16:00
لطفا یه کوچولو سطح مزالبتون رو بیارید پایین قابل درک تر باشه
مرسی
پاسخ دادن | پاسخ به نقل قول | نقل قول کردن
انواع عضویت
پنل کاربری